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21/06/2009
10/06/2009
02/05/2009
20/03/2009
06/03/2009
24/02/2009
Approssimazione tramite riga (ovvero tramite parallelismo)
della funzione esponenziale passante per il punto a
Premi ripetutamente il pulsante Step oppure la barra spaziatrice
e muovi il punto d per orientare la generazione della funzione da uno dei due lati.
Spostando in orizzontale b puoi visualizzare o meno la funzione esponenziale da approssimare.
L'ascissa del punto a determina il passo di approssimazione.
Muovi in orizzontale il punto cursore c verso destra o verso sinistra
per orientare la generazione della funzione dalla parte di a o da quella opposta
(quanto più c dista dall'asse delle ordinate tanti più punti si generano).
Spostando in orizzontale b puoi visualizzare o meno la funzione esponenziale da approssimare.
L'ascissa del punto a determina il passo di approssimazione.
Approssimazione tramite riga (ovvero tramite parallelismo)
della funzione esponenziale naturale
Viene generata la funzione esponenziale passante per il punto (h,k), con k=1+h.
Il punto d riduce il valore di h (più l'ascissa di d è grande più h è piccolo).
Muovi in orizzontale il punto cursore c verso destra o verso sinistra
(quanto più c dista dall'asse delle ordinate tanti più punti si generano).
Spostando in orizzontale b puoi visualizzare o meno la funzione exp.
17/02/2009
12/02/2009
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il processo di antiderivazione
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In figura è rappresentata la funzione seno: g=sin. In corrispondenza all'ascissa x=ax si considera l'ordinata sin x e quindi il punto h=(x, sin x). Successivamente si conduce dal punto (0, sin x) il segmento verso il punto (-1,0). Tale segmento ha pendenza pari al valore di sin x. Pertanto una antiderivata (o, con altro termine più utilizzato: primitiva) della funzione seno deve avere nel punto di ascissa x=ax pendenza pari a quella del suddetto segmento e quindi, in corrispondenza ad un incremento molto piccolo dx dell'ascissa riceve un incremento dell'ordinata pari al cateto verticale del triangolino grigio in figura (di ipotenusa congiungente a con f ). Tale avanzamento è pari a (sin x)· dx . Muovendo il punto c sotto l'asse delle ascisse vedrai visualizzato il rettangolo avente tale prodotto come area. Pertanto una funzione approssimante tale primitiva, partendo da un punto di ascissa e ordinata fissata (a piacere), muovendosi di n passi dx in orizzontale in corrispondenza incrementerà l'ordinata della somma delle aree di rettangoli come il precedente (premi il pulsante Step per avanzare di un numero n di passi a piacere, dopo aver regolato il dx desiderato; ricorda che la pressione sulla barra spaziatrice equivale al clic sul pulsante Step, che per ritornare all'inizio va cliccato il pulsante Clear, e infine che per plottare la traccia va selezionata la opzione Plot).
Indicando con α l'ascissa iniziale ax , con δ il passo dx e con Fδ la funzione approssimante la primitiva, si ha:
Fδ(α+nδ) - Fδ(α) = Σ k=0...n-1 g(α+kδ)· δ .
In tutto questo processo siamo partiti dallo scegliere all'inizio il passo δ=dx di avanzamento orizzontale. Se invece (vedi la figura sotto) partiamo da un valore x=β dell'ascissa in cui valutare la funzione approssimante la primitiva e da un numero n (da scegliere nella figura aprendo la finestra Details) in cui dividere β-α , otteniamo δ=(β-α)/n e, posto fn=Fδ e xk=α+kδ , abbiamo:
fn(β) - fn(α) = Σ k=0...n-1 g(xk)· δ = Σ k=0...n-1 g(xk) · ( xk+1 - xk )
e per l'effettiva primitiva F :
F(β) - F(α) = lim n -> ∞ Σ k=0...n-1 g(xk) · ( xk+1 - xk ) .
Tale limite è l'area con segno del trapezoide della funzione g esteso da α a β , ossia l'integrale definito della funzione g esteso da a α β :
| Int( g , α , β ) = |
∫ |
β
α
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g( x ) dx |
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in questa figura il valore iniziale dell'ascissa è m (ossia α=m è il valore iniziale, attualmente pari a -0.4, di ax); il valore di n va fissato nella finestra Details, ed è pari inizialmente a 10; il punto k descrive la funzione fn , estesa da α=m a β=bx . L'ascissa iniziale di a deve essere pari esattamente a m, che, come detto, è pari a -0.4 (ma può essere modificato al pari di n in Details, avendo l'accortezza di porre il nuovo valore anche nella casella dell'ascissa di a).
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13/11/2008
derivazione e plurirettangoli (teorema fondamentale del calcolo)
La funzione in blu è l'approssimazione della funzione seno fra a e b con una poligonale ottenuta congiungendo punti del grafico della funzione seno scelti con ascisse che si susseguono a intervalli uguali, di ampiezza diciamo Δx, fra a e b. Aumentando l'ascissa del punto d aumenta la densità di tale insieme di punti. Muovendo fra ascissa 0 e ascissa 1 il punto di controllo c, si muove il vertice mobile m sulla suddetta poligonale e viene disegnato il triangolo verde che caratterizza la salita dal vertice m al vertice successivo, quindi si espande tale triangolo verde in un triangolo simile, in colore viola, avente cateto orizzontale unitario, che riporta la pendenza di tale salita (da m al vertice successivo) come ordinata corrispondente all'ascissa di m sul grafico "a scala" rosso. Pertanto la funzione rossa a scala rappresenta il grafico delle pendenze della poligonale relative agli intervallini di base Δx. La funzione a scala crea dei rettangoli ognuno dei quali ha area pari alla base Δx moltiplicata per l'altezza misurata sul grafico rosso (che può essere positiva o negativa), ovvero moltiplicata per la pendenza della salita a partire da m; pertanto tale area rappresenta esattamente la salita nel triangolino verde (nota che l'area è positiva se la salita è positiva ed è negativa se la salita è negativa). Si verifica perciò che la somma delle salite lungo i triangoli verdi, pari in totale alla differenza sin b - sin a (tale salita nella posizione iniziale di a e b in figura è nulla, ma puoi modificare col mouse sia a sia b), coincide con la somma delle aree dei rettangoli aventi i lati rossi. Facendo tendere a infinito il numero dei punti di suddivisione, la funzione rossa tende a diventare la derivata della funzione blu, e si verifica così graficamente che la differenza sin b - sin a è pari all'area compresa fra la derivata della funzione seno (che è il coseno) e l'asse delle ascisse (valutata a partire aall'ascissa a fino ad arrivare all'ascissa b (area che viene chiamata "integrale indefinito della funzione coseno esteso da a a b").
29/10/2008
la derivazione grafica di una funzione
17/06/2008
01/02/2008
18/10/2007
12/10/2007
09/10/2007
20/09/2007
Approssimazione di π (pi-greco) con il metodo di Archimede
implementato con l'uso dei numeri complessi
Approssimazione di π·i con il metodo di Archimede
implementato con l'uso dei numeri complessi
calcola con Google (con n=100) calcola con Google (con n=100000) calcola π con Google
Approssimazione di π (pi-greco) con il metodo di Viète
implementato con l'uso dei numeri complessi
17/09/2007
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Programma di matematica di 2° livello
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Notazioni insiemistiche per elencazione o per proprietà caratteristica degli elementi. Simboli di appartenenza e non appartenenza.
Richiami sul calcolo negli insiemi N (numeri naturali = numeri interi non negativi), Z (numeri interi relativi) e Q (numeri razionali).
Interpretazione geometrica delle operazioni di addizione (regola del parallelogramma) e moltiplicazione (regola dei triangoli simili, o di Talete). Introduzione di una unità immaginaria e rappresentazione di punti come numeri complessi. Riferimento cartesiano (0,1,i) e notazione cartesiana tramite ascissa e ordinata.
Trasformazioni isometriche di base nel piano cartesiano.
Le due simmetrie assiali coordinate nel piano cartesiano:
P=(x,y) -> P-=(x,-y) (coniugazione)
P=(x,y) -> -P-=(-x,y) (coniugazione opposta, o anticoniugazione).
L’identità:
P=(x,y) -> P=(x,y)
e la simmetria centrale:
P=(x,y) -> -P=(-x,-y) (opposizione).
Le simmetrie rispetto alle bisettrici principale e secondaria:
P=(x,y) -> (y,x) (inversione delle coordinate)
P=(x,y) -> (-y,-x) (inversione delle coordinate e opposizione, o antiinversione).
Le rotazioni ortogonali fondamentali:
P = (x,y) -> P^ = (-y,x) (antioraria)
P = (x,y) -> -P^=(y,-x) (oraria).
Grafici di funzioni del tipo y=mx (proporzionalità dirette, rette passanti per l’origine). Grafici di funzioni del tipo y=mx+n (rette). Significato geometrico dei parametri m e n. Equazioni di primo grado di tipo mx+n=0.
Disequazioni di 1° grado e loro interpretazione geometrica nel piano cartesiano.
La funzione quadratica y=x2. Effetto dell’introduzione del parametro m nelle funzioni quadratiche y=mx2.
Traslazione verticale del grafico di y=mx2 ed equazioni del tipo y=mx2+n.
Traslazione orizzontale del grafico di y=mx2 ed equazioni del tipo y=m(x-k)2, con discussione del segno di k nel suo rapporto col tipo di traslazione orizzontale.
Combinazione di traslazione orizzontale e di traslazione verticale e parabole di equazione del tipo y=m(x-k)2 + n .
Definizione del vertice della parabola di equazione y=m(x-k)2+n come punto V=(k,n).
Riduzione della generica funzione y= ax2+bx+c alla forma y=m(x-k)2+n .
Deduzione delle relazioni (equazioni del vertice della parabola):
k=-b/2a , n= c - b2/4a .
Intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse.
Risoluzione dell’equazione di secondo grado a x 2 + b x + c = 0, scrivendola nella forma m(x - k)2 + n = 0. Formula risolutiva generale dell’equazione a x 2 + b x + c = 0.
Disequazioni di 2° grado studiate tramite parabola.
Materiali di studio :
insiemi, numeri, operazioni: http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/insiemi/index.htm
http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/numeri/index.htm
http://w3.romascuola.net/gspes/operazioni.html
numeri, piano, rette: http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/2a.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/8-isometrie.html
parabola ed equazioni di 2° grado:
http://www.informatematica.splinder.com/1074612501#1255781
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25/05/2007
24/05/2007
27/04/2007
02/03/2007
17/02/2007
15/02/2007
costruzione grafica di operazioni e operatori elementari
visualizzazione della formula di Eulero per i numeri immaginari
20/01/2007
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Programma di matematica
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3° livello - 2006/2007 - primo periodo
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Vettori nel piano e operazioni di addizione di vettori (regola del parallelogramma) e di moltiplicazione di un numero reale per un vettore.
Generazione del piano cartesiano a partire da tre punti non allineati 0, 1, i tramite le operazioni di addizione e moltiplicazione a coefficienti reali. Disposizione ortonormale antioraria della terna 0, 1, i. L’ambiente additivo dei numeri complessi.
Equazione parametrica di una retta passante per l'origine.
Funzioni lineari (rette passanti per l’origine, o anche proporzionalità dirette).
Traslazioni e rette non passanti per l’origine. Equazione di una retta in forma vettoriale e in forma di componenti scalari. Equazioni delle rette in forma cartesiana esplicita (o funzionale).
Le otto isometrie di base: l’identità, l’opposizione, la coniugazione, la coniugazione opposta, le ortogonalità antioraria ed oraria, le simmetrie assiali rispetto alle due bisettrici dei quadranti del piano cartesiano.
Moltiplicazione di due numeri complessi introdotta con l’uso dell’ortogonale del moltiplicando:
a b = ( ax + ay i) b = ( ax 1 + ay 1┴ ) b = ax b + ay b┴ .
Determinazione grafica del prodotto (concetti grafici di roto-dilatazione e di roto-contrazione) ed espressione algebrica del prodotto.
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Materiale di studio:
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12/01/2007
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Programma di 1° livello.
primo periodo dell'anno scolastico 2006/2007
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matematica: Notazioni insiemistiche di base con esempi applicativi: insiemi e loro unione, intersezione, differenza; coppie ordinate, prodotto cartesiano (e sue rappresentazioni), relazioni, funzioni e operazioni.
Tabelle, alberi e diagrammi funzionali.
Il piano come ambiente intuitivo utilizzabile per l’introduzione di numeri, quando si introducono un punto O (origine o centro del piano) e un punto unità 1.
Addizione con le regole (equivalenti) “del parallelogramma” e “della concatenazione” (ovvero “del triangolo”).
Opposto di un punto (numero) rispetto all’origine.
Proprietà dell’addizione e dell’opposizione.
Costruzione intuitiva dell’insieme N dei numeri naturali, dell’insieme Z dei numeri interi relativi.
Addizione e moltiplicazione in N e Z.
Procedimento grafico di divisione di un segmento in n parti uguali con il metodo di Talete (al computer con Cabri-Géomètre) e introduzione dell’insieme Q dei numeri razionali.
Addizione e moltiplicazione in Q.
Interpretazione della moltiplicazione sul piano.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Divisione in Q.
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materiali per lo studio:
insiemi: http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/insiemi/index.htm
numeri: http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ipermonica/numeri/index.htm
http://w3.romascuola.net/gspes/operazioni.html
http://w3.romascuola.net/gspes/materiali/numeri/_inizio.html
numeri e piano: http://w3.romascuola.net/gspes/c/lo/2a.html
http://w3.romascuola.net/gspes/talete_moltiplicazione.html
http://w3.romascuola.net/gspes/talete_divisione.html
http://w3.romascuola.net/gspes/pgc/distributiv.html
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informatica: Introduzione alle operazioni basilari di gestione di un elaboratore tramite il sistema operativo (come gestire file e cartelle).
Diagrammi di processo (funzionali) e ad albero (gerarchici).
Albero strutturale di un’espressione.
La rappresentazione tramite marcatori (tag) e il linguaggio HTML. I tag <html>, <head>, <body>, <title>, <font>, <img>, <center>, <p>, <br>, <b>, <i>, <u>. L'espressione dei colori tramite la funzione rgb (red-green-blue).
CAD (computer Aided Design): l’ambiente “Cabri-Géomètre”: input grafici, strumenti primitivi e macro; dipendenza degli output dagli input durante l’interazione con l’utente.
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materiali per lo studio:
http://docenti.lett.unisi.it/files/12/6/2/11/R06_Sistemi_Operativi__Parte2_.pdf
http://it.wikipedia.org/wiki/Albero_%28informatica%29
http://www.psico.univ.trieste.it/didattica/online/informaticagenerale/2/2002-2003/Lez0203-2-06.pdf (solo le prime 7 pagine)
http://www.novaera.it/webkit/index.htm
http://www.informatematica.splinder.com/1133959845#6512374
http://www.tiziana1.it/ebooks/Risorse/gbbook_ita2.pdf |
moltiplicazione grafica di due numeri complessi
10/01/2007
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Programma di matematica
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4° livello - 2006/2007 - 1° periodo
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Insiemi e relazioni. Univocità e funzioni. Iniettività e invertibilità di una funzione. Funzioni del tipo x n . Funzioni pari e funzioni dispari. Simmetrie interne dei grafici di funzioni. Simmetrie fra grafici di funzioni, in particolare fra funzioni inverse.
Intervalli nell’insieme dei numeri reali: chiusi, aperti, semichiusi (o semiaperti), limitati o illimitati.
Restrizione di una funzione per ottenere l’iniettività.
La parabola e la radice quadrata. Le funzioni arcsin, arccos e arctg.
Composizione di funzioni e inversione di una funzione composta.
Introduzione di esponenti non naturali nelle potenze.
Le funzioni potenza x -> xa e le funzioni esponenziali x -> ax .
Proprietà delle funzioni esponenziali, partendo dalla proprietà di morfismo additivo-moltiplicativo (ossia: alla somma degli argomenti corrisponde il prodotto dei valori).
Simmetria fra i grafici di ax e (1/a)x .
Andamento di una funzione esponenziale ax al variare del parametro a>0 .
Determinazione di una funzione esponenziale a partire da una retta passante per (0,1) cui essa deve essere tangente. La funzione esponenziale naturale e il numero e di Nepero.
Inversione della funzione esponenziale in base a: il logaritmo in base a; suo grafico e sue proprietà formali.
Cenno all’esponenziale naturale complessa e alla formula di Eulero.
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materiali di studio :
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09/01/2007
per la classe prima:
schema riassuntivo tabulare sulle operazioni elementari
per la classe prima:
regola di Talete per la moltiplicazione e per la divisione
18/10/2006
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Programma di 1° livello
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Matematica:
Notazioni insiemistiche di base con esempi applicativi: insiemi e loro unione, intersezione, differenza; coppie ordinate, prodotto cartesiano (e sue rappresentazioni), relazioni, funzioni e operazioni.
Tabelle, alberi e diagrammi funzionali.
Il piano come ambiente intuitivo utilizzabile per l’introduzione di numeri, quando si introducono un punto O (origine o centro del piano) e un punto unità 1. Addizione con le regole (equivalenti) “del parallelogramma” e “della concatenazione” (ovvero “del triangolo”).
Opposto di un punto (numero) rispetto all’origine.
Proprietà dell’addizione e dell’opposizione.
Costruzione intuitiva dell’insieme N dei numeri naturali, dell’insieme Z dei numeri interi relativi. Addizione e moltiplicazione in N e Z. Elevamento a potenza con esponente naturale e rappresentazione in base 10 dei numeri interi. Minimo comune multiplo e massimo comun divisore, con applicazioni a problemi pratici di composizione e scomposizione di figure rettangolari.
Procedimento grafico di divisione di un segmento in n parti uguali con il metodo di Talete (al computer con Cabri-Géomètre) e introduzione dell’insieme Q dei numeri razionali. Addizione e moltiplicazione in Q. Elevamento a potenza con esponente intero negativo e rappresentazione in base 10 dei numeri razionali. Numeri periodici. Trasformazione da frazione a decimale e viceversa. Proprietà dell’elevamento a potenza.
Costruzione geometrica del punto “unità immaginaria” i (ovvero “j”), in contrapposizione al quale 1 è detto “unità reale”. Costruzione geometrica dei numeri immaginari a coordinate intere o razionali.
Addizione e moltiplicazione a coefficiente razionale eseguite nel piano componente per componente. Interpretazione della moltiplicazione sul piano a coordinate intere o razionali e il concetto di proporzionalità diretta. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Divisione in Q. Proporzioni e teorema di Talete.
Monomi: grado, coefficienti e similitudine. Addizione di monomi e polinomi. Moltiplicazione di monomi e polinomi. Monomi razionali e operazione di divisione. Operazioni su espressioni letterali. Rappresentazioni di espressioni di primo grado contenenti una sola variabile (x) nel piano cartesiano.
Equazioni di primo grado.
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Informatica:
Introduzione alle operazioni basilari di gestione di un elaboratore tramite il sistema operativo.
Diagrammi di processo (funzionali) e ad albero (gerarchici). Albero strutturale di un’espressione. Puntatori, collegamenti, mappe concettuali. Sintassi e semantica di un linguaggio. Metalinguaggi.
Costanti booleane. Congiunzione (AND), disgiunzione (OR), negazione (NOT). Costanti e variabili. Funzioni e predicati (funzioni a valori booleani).
Termini, espressioni, enunciati (espressioni booleane). Quantificatori. Variabili “parametro” (o significative) e variabili formali (o mute).
La rappresentazione tramite marcatori (tag) e il linguaggio HTML.
Istruzioni e algoritmi ; input, output. Tipi di dato, linguaggi tipizzati e non tipizzati. Dati semplici e strutture di dati. Cenni di Javascript.
CAD: l’ambiente “Cabri-Géomètre”: input grafici, strumenti primitivi e macro; dipendenza degli output dagli input durante l’interazione con l’utente.
CAS: l’ambiente “Derive” e la definizione di funzioni a partire da funzioni e termini predefiniti. Iterazione e ricorsione. Grafica bi- e tri-dimensionale.
SPREADSHEET (fogli di calcolo): l’ambiente “Excel” e la struttura a matrice del foglio. Uso delle funzioni nelle celle.
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informatematica
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